Задачи повышенной трудности к главе X. Метод координат

1256. Вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты А (х₁; у₁), В (х₂; у₂), С (х₃; у₃) и D(x₄; y₄). Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда х₁ + х₃ = х₂ + х₄ и у₁ + у₃ = у₂ + у₄.

1257. Даны две точки А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂). Докажите, что координаты (х; у) точки С, делящей отрезок АВ в отношении λ выражаются формулами

1258. Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты её вершин равны: (х₁; у₁), (х₂; у₂), (х₃; у₃).

1259. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-3; 0), В (0; 4), С (3; 0). Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Найдите координаты точки D.

1260. В треугольнике АВС АС = 9 см, ВС= 12 см. Медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ.

1261. Найдите координаты центра тяжести системы трёх масс m₁, m₂ и m₃, сосредоточенных соответственно в точках А₁ (х₁; у₁), А₁2 (х₂; у₂), А₃ (х₃; у₃).

1262. В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку М, для которой сумма её расстояний от точек А и В имеет наименьшее значение:

а) А (2; 3), В (4;-5);
б) А (-2; 4), 5(3; 1).

1263. Докажите, что:

а) уравнение Ах + By + С = 0, где А и В одновременно не равны нулю, является уравнением прямой;
б) уравнение х² - ху - 2 = 0 не является уравнением окружности.

1264. Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями (x - 1)² + (у - 2)² = 4 и х² + у² = 1, и вычислите длину их общей хорды.

1265. Даны три точки А, В, С и три числа α, β, γ. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых сумма αАМ² + βВМ² + γСМ² имеет постоянное значение, если:

а) α + β + γ ≠ 0;
б) α + β + γ = 0.

1266. Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Для каждой точки Мх прямой а на луче АМ₁ взята такая точка М, что АМХ • AM = k, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.

1267. Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой точки Мj окружности на луче OM₁ взята такая точка М, что ОМ = k • OM₁, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.

1268. Пусть А и В — данные точки, k — данное положительное число, не равное 1.

а) Докажите, что множество всех точек М, удовлетворяющих условию AM = kBM, есть окружность (окружность Аполлония).
б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки А и В, так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.

Ответы >>>