Об аксиомах планиметрии

При изучении геометрии мы опирались на ряд аксиом. Напомним, что аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных. Вместе с так называемыми основными понятиями они образуют фундамент для построения геометрии. Первыми основными понятиями, с которыми мы познакомились, были понятия точки и прямой. Определения основных понятий не даются, а их свойства выражаются в аксиомах. Используя основные понятия и аксиомы, мы даём определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким образом изучаем свойства геометрических фигур.

Отметим, что не все аксиомы, необходимые для построения планиметрии, были приведены в нашем курсе — для упрощения изложения некоторые из них мы не формулировали, хотя ими и пользовались. Здесь мы приведём все аксиомы планиметрии.

Первые три аксиомы характеризуют взаимное расположение точек и прямых.

1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки¹.
2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

¹ Такие понятия, как «принадлежать», «множество», «число» и т. д., относятся не только к геометрии, но и к другим разделам математики. Поэтому мы считаем их известными и не относим к числу основных понятий планиметрии.

Для точек, лежащих на одной прямой, мы использовали понятие «лежать между», которое относим к основным понятиям геометрии. Свойство этого понятия выражено в следующей аксиоме:

4. Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Подчеркнём, что, говоря «точка В лежит между точками А и С», мы имеем в виду, что А, В, С — различные точки прямой и точка В лежит также между С и А. Иногда вместо этих слов мы говорим, что точки А и В лежат по одну сторону от точки С (аналогично точки В и С лежат по одну сторону от точки А) или точки А и С лежат по разные стороны от точки В.

5. Каждая точка О прямой разделяет её на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.

При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.

Напомним, что отрезком АВ называется геометрическая фигура, состоящая из точек А и В и всех точек прямой АВ, лежащих между А и В. Коротко можно сказать так: отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Если отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой а; если же отрезок АВ пересекается с прямой а (в некоторой точке С, лежащей между А и В), то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от прямой а.

6. Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.

Прямая а называется границей каждой из указанных полуплоскостей; её точки не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей.

Следующие аксиомы связаны с понятиями наложения и равенства фигур. Понятие наложения относится в нашем курсе к основным понятиям геометрии. В главе I мы определили равенство геометрических фигур, используя понятие наложения. Мы опирались на наглядные представления о наложении фигур и допускали, что всякая геометрическая фигура может перемещаться как единое целое, наподобие того как перемещаются материальные тела. Но геометрические фигуры — не материальные тела, а воображаемые объекты, поэтому наложение геометрических фигур следует понимать в особом смысле.

Продолжение >>>