Вопросы для повторения к главе IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника

1. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.

2. Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

3. Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

4. Какой треугольник называется остроугольным? Какой треугольник называется тупоугольным?

5. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника?

6. Докажите, что в треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

8. Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

9. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

10. Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

11. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

12. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

13. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

14. Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведённой из данной точки к данной прямой.

15. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

16. Что называется расстоянием от точки до прямой?

17. Докажите, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

18. Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?

19. Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

20. Что такое геометрическое место точек? Приведите пример.

21. Объясните, как построить треугольник:

а) по двум сторонам и углу между ними;
б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

22. Объясните, как построить треугольник по трём сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение?