Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Площадь трапеции

Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника (рис. 185, а). Используя этот приём, выведем формулу для вычисления площади трапеции. Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. На рисунке 185, б отрезок ВН (а также отрезок DH₁) — высота трапеции ABCD.

Теорема

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Доказательство

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и ВС, высотой ВН и площадью S (см. рис. 185, б).

Докажем, что

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD.

Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки ВС и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

Теорема доказана.